2023年湖南省永州市中考数学试卷

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1．（4分）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示
A．运出30吨粮食B．亏损30吨粮食C．卖掉30吨粮食D．吃掉30吨粮食
2．（4分）企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美．下列企业标志图为中心对称图形的是
A．B．C．D．
3．（4分）下列多边形中，内角和等于的是
A．B．
C．D．
4．（4分）关于的一元一次方程的解为，则的值为
A．3B．C．7D．
5．（4分）下列各式计算结果正确的是
A．B．C．D．
6．（4分）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是
A．B．
C．D．
7．（4分）某2020年人均可支收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是
A．B．
C．D．
8．（4分）今年2月，某班准备从《在希望的田野上》、《我和我的祖国》、《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是
A．B．C．D．1
9．（4分）已知点在反比例函数的图象上，其中，为常数，且，则点一定在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（4分）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是
A．B．
C．D．一定经过的内心
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（4分），3，三个数中最小的数为 ．
12．（4分）与的公因式为 ．
13．（4分）已知为正整数，写出一个使在实数范围内没有意义的值是 ．
14．（4分）甲、乙两队学生参加学校拉拉队选拔，两队队员的平均身高均为，甲队队员的身高的方差为1.2，乙队队员身高的方差为5.6．若要求拉拉队身高比较整齐，应选择 队较好．
15．（4分）如图，，，，则 度．
16．（4分）若关于的分式方程为常数）有增根，则增根是 ．
17．（4分）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为 度．
18．（4分）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为，水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解关于的不等式组：．
20．（8分）先化简，再求值：，其中．
21．（8分）如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点，，，．
（1）是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形是菱形．
22．（10分）今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防溺水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了名学生的成绩（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组、2组、3组、4组，并绘制如图所示频数分布图．
（1） ；所抽取的名学生成绩的中位数在第 组；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的名学生中成绩为优秀的频率为 ；
（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
23．（10分）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国举命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面上处为陈树湘雕像拍照，相机支架高0.9米，在相机处观测雕像顶端的仰角为，然后将相机支架移到处拍照，在相机处观测雕像顶端的仰角为，求、两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：．
24．（10分）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
（1）探究：根据上表中的数据，请判断和，为常数）哪一个能正确反映总水量与时间的函数关系？并求出关于的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
25．（12分）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点．使得，点在的延长线上，点在线段上，交于，交于．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长；
（3）若，求证：．
26．（12分）如图1，抛物线，，为常数）经过点，
顶点坐标为，点，为抛物线上的动点，轴于，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线交于点，求的最大值；
（3）如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，，求点的横坐标．
2023年湖南省永州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．【解答】解：“”表示运出30吨粮食，
故选：．
2．【解答】解：选项、、中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．
3．【解答】解：．三角形的内角和为，
则不符合题意；
．四边形的内角和为，
则符合题意；
．五边形的内角和为，
则不符合题意；
．六边形的内角和为，
则不符合题意；
故选：．
4．【解答】解：是关于的一元一次方程的解，
，
，
故选：．
5．【解答】解：，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项符合题意；
故选：．
6．【解答】解：、主视图和左视图都为矩形的，所以选项不符合题意；
、主视图和左视图都为矩形的，所以选项不符合题意；
、主视图为矩形，左视图为圆，所以选项不符合题意；
、主视图和左视图均为等腰三角形，所以符合题意．
故选：．
7．【解答】解：根据题意得．
故选：．
8．【解答】解：设《在希望的田野上》、《我和我的祖国》、《十送红军》．
列表如下：
由上表可知，所有可能结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，其中恰好选中前面两首歌曲的结果有2种，
则恰好选中前面两首歌曲的概率为．
故选：．
9．【解答】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
点一定在第一象限．
故选：．
方法二：
反比例函数中，，
图象的两个分支在一、三象限，
点在反比例函数的图象上，
点一定在第一象限．
故选：．
10．【解答】解：由作图知，平分，
，，
，一定经过的内心，故不符合题意，故不符合题意；
在与中，
，
，
，故不符合题意；无法证明，故符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．【解答】解：，
最小的数是，
故答案为：．
12．【解答】解：与的公因式是．
故答案为：．
13．【解答】解：要使在实数范围内没有意义，
则，
，
为正整数，
的值是1（答案也可以是．
故答案为：1（答案也可以是．
14．【解答】解：，，
，
若要求拉拉队身高比较整齐，应选择甲队较好．
故答案为：甲．
15．【解答】解：，，
，
，
，
．
故答案为：100．
16．【解答】解：关于的分式方程为常数）有增根，
，
，
故答案为：．
17．【解答】解：设扇形圆心角的度数为，
则，
解得：，
即扇形圆心角的度数为，
故答案为：60．
18．【解答】解：如图，过点作于点，交于点，连接，
，
由题意知，，，
，
在中，，
，
故答案为：16．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集为．
20．【解答】解：
，
当时，
原式．
21．【解答】（1）解：是直角三角形，理由如下：
四边形是平行四边形，，
，
，，，
，
是直角三角形，且；
（2）证明：由（1）可知，，
，
平行四边形是菱形．
22．【解答】解：（1）由题意得，，
所抽取的名学生成绩的中位数在第3组．
故答案为：600；3；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的名学生中成绩为优秀的频率为．
故答案为：0.25；
（3）（名，
答：估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数约15606名．
23．【解答】解：由题意得：，，米，米，，
（米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
（米，
米，
、两点间的距离约为1.5米．
24．【解答】解：（1）根据上表中的数据，，为常数）能正确反映总水量与时间的函数关系，
当时，，当时，，
，
，
；
（2）①当时，，
即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升；
②当分钟时，（毫升），
当时，，
（天，
答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
25．【解答】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
解得或，
当时，，
当时，，
，即，
；
（3）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
．，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．【解答】解：（1）抛物线，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）过点作轴于点，如图所示，
在中，令得，
解得或，
，，
，
，
设直线的解析式为：，
，
解得，
直线的解析式为，
由在直线上，设，
在直线上，直线为，
，
，
，
由， 在抛物线 上，知，，
，
，
，
，
，
，，
当 时，取最大值，最大值为；
（3）设交于，如图：
为正方形，，
，，，
，，，
为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，，
，
设直线的解析式为，
则，
，
直线的解析式为，
，在直线上，
，
，即点横坐标为 ，
，，
，
，
，
，
解得或或，
，
，
点的横坐标为．
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（单位：分钟）
1
2
3
4
5
总水量
（单位：毫升）
7
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17
22
27
歌曲